PID 控制器

公式

u(t) = K_pe(t) + K_i\int_{0}^te(\tau)d\tau + K_d\frac{de(t)}{dt}

$K_p$ : 成比例地调节系统误差信号，可加快系统响应，减小稳态误差

$K_i$ : 通过积分消除系统稳态误差，抗扰动

$K_d$ : 误差变化的导数，反映误差变化趋势（误差减小时为负，与比例积分相反），可较早地修正控制器输出，加快响应

u(k) = K_pe_k + K_i\sum_{i=1}^{k}e(i)\Delta{t} + K_d\frac{e(k) - e(k - 1)}{\Delta{t}}

u(k) = u(k-1) + \Delta{u}(k) \\ \Delta{u}(k) = K_p\Big(e(k) - e(k-1)\Big) + K_ie(k)\Delta{t} + K_d\frac{e(k) - 2e(k-1) + e(k-2)}{\Delta{t}}

备注

在实践中，因 $\Delta{t}$ 变化较小，可与 $K_i, K_d$ 近似结合为一个参数，故可省略 $\Delta{t}$

对比

由公式推导可见，位置式与增量式 PID 本质上并无区别，只是将积分的过程移至了输出时的累加中。增量式的优点在于，对部分只需要输出增量的执行器可以直接输出。在其余情况下，位置式可以实现积分部分单独控制，有更大的灵活性。

P 控制实质上是一个放大器，适用于一阶惯性环节，使用 P 只是加快了系统调节速度。
PI 控制器增加了一个零点和一个位于原点的极点，适用于有扰动的一阶环节，零点可以缓解扰动系统极点对稳定性与动态过程的不利影响，极点可以消除或减小系统稳态误差
PD 控制器可以增加一个零点，有助于改善系统动态性能
PID 控制器可以增加两个零点，一个位于原点的极点，因此可以适用于二阶系统
多级 PID可以增加更多的零点，适用于更高阶的系统。也可从规划角度理解，上级 PID 的输出是下级 PID 的输入的规划，可以实现控制量误差为 0 时，其导数也为 0，实现的是对导数的控制

参考：PID 积分抗饱和方法

PID 中积分的作用是抵抗干扰，保证系统稳态精度，但其在干扰较大时会陷入饱和，导致系统响应时间增加，稳定性下降，因此需要添加抗饱和措施

积分限定 (Integral Clamping): 在处于饱和，并且误差信号与控制信号同号时，停止积分，即只有在非饱和或超调时才积分
积分分离：在误差较大时，取消积分环节，只有误差较小时才积分，是一种简化的变速积分的方法
反馈抑制抗饱和 (Back Calculation): 对积分项加入负反馈，理论上反馈系数范围为 $0.3$ ~ $3\frac{K_i}{K_p}$ ，一般取 $\frac{K_i}{K_p}$ ，也可根据饱和深度动态调整

尽管 PID 可以抗扰动，但对于可测量的扰动，还是应尽可能针对性地设计控制器，以达到最优性能，减少其对系统的影响后，再将 PID 用于应对剩余数学建模困难的扰动
减少系统的冲击，可以对控制输入进行规划，安排过渡过程，如滤波，路径规划，多级 PID 等